用基础解系表示方程组通解 x1+x2-3x4-x5=2 x1-x2+2x3-x4=1 4x1-2x2+6x3+3x4-4

用基础解系表示方程组通解 x1+x2-3x4-x5=2 x1-x2+2x3-x4=1 4x1-2x2+6x3+3x4-4x5= 8 2x1+4x2-2x3+4x4-7x5=9

答案为（13/6,5/6,0,1/3,0）^T+k1（-1,1,1,0,0）^T+k2(7,5,0,2,6)^T(K1,K2为任意常数)

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1个回答

写出线性方程组的增广矩阵,用初等行变换来解

1 1 0 -3 -1 2

1 -1 2 -1 0 1

4 -2 6 3 -4 8

2 4 -2 4 -7 9 第2行减去第1行,第3行减去第1行×4,第4行减去第1行×2

～

1 1 0 -3 -1 2

0 -2 2 2 1 -1

0 -6 6 15 0 0

0 2 -2 10 -5 5 第3行减去第2行×3,第4行加上第2行

～

1 1 0 -3 -1 2

0 -2 2 2 1 -1

0 0 0 9 -3 3

0 0 0 12 -4 4 第2行除以-2,第3行除以9

～

1 1 0 -3 -1 2

0 1 -1 -1 -1/2 1/2

0 0 0 1 -1/3 1/3

0 0 0 12 -4 4 第1行减去第2行,第4行减去第3行×12

～

1 0 1 -2 -1/2 3/2

0 1 -1 -1 -1/2 1/2

0 0 0 1 -1/3 1/3

0 0 0 0 0 0 第1行加上第3行×2,第2行加上第3行

～

1 0 1 0 -7/6 13/6

0 1 -1 0 -5/6 5/6

0 0 0 1 -1/3 1/3

0 0 0 0 0 0

显然在这里系数矩阵和增广矩阵的秩都为3,

故方程组有解,向量个数等于未知数个数减去秩,即5-3=2

在这里自由变量为x3和x5

x3=1,x5=0时,得到x1=-1,x2=1,x4=0

故向量为(-1,1,1,0,0)^T

而x3=0,x5=1时,得到x1=7/6,x2=5/6,x4=1/3

故向量为(7/6,5/6,0,1/3,1)^T 即(7,5,0,2,6)^T

所以齐次方程的解为：k1(-1,1,1,0,0)^T+k2(7,5,0,2,6)^T

而(x1,x2,x3,x4,x5)^T=(13/6,5/6,0,1/3,0)^T时,满足非齐次方程组,

故为方程的特解

所以方程组的通解为

(13/6,5/6,0,1/3,0)^T+k1(-1,1,1,0,0)^T+k2(7,5,0,2,6)^T (K1,K2为任意常数)

就是你给的答案

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