已知函数f（x）=（x2-3x+3）•ex定义域为[-2，t]（t＞-2．

已知函数f（x）=（x2-3x+3）•ex定义域为[-2，t]（t＞-2．

（1）试确定t的取值范围，使得函数f（x）在[-2，t]上为单调函数；

（2）求证：f（t）＞f（-2）；

（3）当1＜t＜4时，求满足

f′(

x

0

)

e

x

0

＝

2

3

(t−1

)

2

的x0的个数．

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解题思路：（1）首先求出函数的导数，然后根据导数与函数单调区间的关系求出函数的单调区间，进而确定出t的取值范围；

（2）运用函数的极小值进行证明；

（3）首先对关系式进行化简，然后利用根与系数的关系进行判定．

（1）因为f′（x）=（x2-3x+3）•ex+（2x-3）•ex=x（x-1）•ex，

由f′（x）＞0，得x＞1或x＜0；由f′（x）＜0，得0＜x＜1，

所以f（x）在（-∞，0），（1，+∞）上递增，在（0，1）上递减，

欲使f（x）在[-2，t]上为单调函数，则-2＜t≤0．

所以t的取值范围为（-2，0]．

（2）证明：因为f（x）在（-∞，0），（1，+∞）上递增，在（0，1）上递减，

所以f（x）在x=1处取得极小值e，

又f（-2）=[13

e2＜e，

所以f（x）在[-2，+∞）上的最小值为f（-2），

从而当t＞-2时，f（-2）＜f（t）；

（3）因为

f′(x0)

ex0=x02-x0，所以足

f′(x0)

ex0＝

2/3(t−1)2即为x02-x0=

2

3(t−1)2，

令g（x）=x2-x-

2

3]（t-1）2，从而问题转化为求方程g（x）=x2-x-[2/3]（t-1）2=0在[-2，t]上的解的个数，

因为g（-2）=6-[2/3]（t-1）2=-[2/3(t+2)(t−4)，g（t）=t（t-1）-

2

3(t−1)2=

1

3]（t+2）（t-1），

所以当1＜t＜4时，g（-2）＞0且g（t）＞0，但由于g（0）=-[2/3]（t-1）2＜0，

所以g（x）=0在（-2，t）上有两解．

即，满足

f′(x0)

ex0＝

2

3(t−1)2的x0的个数为2．

点评：

本题考点： 利用导数研究函数的单调性；函数的零点；利用导数求闭区间上函数的最值．

考点点评： 本题考查利用导数研究函数的单调性、最值及函数零点问题，综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化

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