已知函数f(x)=a2x2-4x+lnx有两个极值点．
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解题思路：（Ⅰ）先求出函数的导数，由题意知，导数等于0有两个正根，分a＜0和a＞0两种情况讨论．
（Ⅱ）由题意知，∃a∈（0，4），使ax2-4x+1≥0对x∈[b，b+2]恒成立，即 a＞-
(
1
x
)
2
+[4/x]=-
(
1
x
-2)
2
+4 恒成立，由
4＞-(
1
x
)
2
+4•
1
x
=-(
1
x
-2
)
2
+4
恒成立，故x≠[1/2]，由b＞0，根据[1/2]不在区间[b，b+2]内，求出实数b的取值范围．
（Ⅰ）f′(x)=ax-4+
1
x=
ax2-4x+1
x(x＞0)，由题意：a≠0，又
①当a＜0时，[1/a＜0，f'（x）=0两根异号，不合题意；
②当a＞0时，
2
a＞0可知△=16-4a＞0，即0＜a＜4，
此时由f′（x）=0得，x1=
2-
4-a
a]，x2=
2+
4-a
a，（4分）
由下表
故当0＜a＜4时，函数f（x）的两个极值点．（6分）
（Ⅱ）结合（Ⅰ）可得“∃a∈（0，4），使ax2-4x+1≥0对x∈[b，b+2]恒成立”，
即 a＞-(
1
x)2+[4/x]=-(
1
x-2)2+4 恒成立，由[b，b+2]⊂（0，+∞）得b＞0，
又4＞-(
1
x)2+4•
1
x=-(
1
x-2)2+4恒成立，
∴x≠
1
2，b+2≤
1
2，或b≥
1
2，从而b≥
1
2．（13分）
点评：
本题考点： 函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的单调性．
考点点评： 本题考查函数在某点存在极值的条件，利用导数判断函数的单调性的方法，以及函数的恒成立问题．
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