一道定积分不等式证明,
1个回答
注意到积分区间为[-1,1],对称区间定积分有以下结论：
若f(x)为奇函数,则∫{-a,a}f(x)dx=0
若f(x)为偶函数,则∫{-a,a}f(x)dx=2*∫{0,a}f(x)dx
故∫{-1,1}(x²+x*cosx)/(1+sin²x)dx
=∫{-1,1}x²/(1+sin²x)dx+∫{-1,1}x*cosx/(1+sin²x)dx
=2∫{0,1}x²/(1+sin²x)dx
其中,x²/(1+sin²x)在[-1,1]上为偶函数,x*cosx/(1+sin²x)在[-1,1]上为奇函数
∵当0≤x≤1时,sinx≤x
∴2∫{0,1}x²/(1+sin²x)dx≥2∫{0,1}x²/(1+x²)dx
=2∫{0,1}(x²+1-1)/(1+x²)dx
=2∫{0,1}[1-1/(1+x²)]dx
=2*(x-arctanx)| {0,1}
=2-π/2
又2∫{0,1}x²/(1+sin²x)dx≤2∫{0,1}x²dx
=2/3*x³|{0,1}
=2/3
即2-π/2≤∫{-1,1}(x²+x*cosx)/(1+sin²x)dx≤2/3
