孙子问题在现代数论中是一个一次同余问题,显然,这相当于求不定方程组
N=3x+2
N=5y+3
N=7z+2
的正整数解N,或用现代数论符号表示,等价于解下列的一次同余组：
N 2(mod3) 3(mod5) 2(mod7)②
孙子问题求解过程如下：最小公倍数
在第一组数中找出“除以7余2”的最小数——30；
在第二组数中找出“除以5余3”的最小数——63；
在第三组数中找出“除以3余2”的最小数——35；
则有,30+63+35 = 128 一定是一个符合“被3除余2,被5除余3,被7除余2”的数.但不一定是最小的.
再求128除以105(即3,5,7的最小公倍数)的余数即得23.
为了一般化问题的解法,先来看一个简单的结论：
如果整数 a 除以整数 b 的余数是 1,那么 a 的 2 倍,3 倍,4 倍……b-1 倍除以 b 的余数分别是 1*1,2*1,3*1,4*1,.和(b-1)*1.
例如：15÷7=2……余1,那么：
2*15÷7=4……余 2 (=2*1)
3*15÷7=6……余 3 (=3*1)
4*15÷7=8……余 4 (=4*1)
……
6*15÷7=12……余 6 (=6*1)
基于以上结论,可以如是求解（仍要看上图）：
在第一组中找出 ”除以7余1“ 的最小数－－15
在第二组中找出 “除以5余1” 的最小数－－21
在第三组中找出 “除以3余1" 的最小数－－70
要找的数是 “除以7余2,除以5余3,除以3余2” ,因此一个答案就是
15*2 + 21*3 + 70*2 ＝ 233
要求最小的那个数,只要求233除以105（即3,5,7的最小公倍数）的余数,即23.
今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二,问物几何?
即,求一个数,除以3余2,除以5余3,除以7余2.
这个被称做孙子问题.
孙子算经》所给答案是N＝23.由于孙子问题数据比较简单,这个答数通过试算也可以得到.但是《孙子算经》并不是这样做的.
“物不知数”题的术文指出的解法为：
三三数之,取数七十,与余数二相乘；五五数之,取数二十一,与余数三相乘；七七数之,取数十五,与余数二相乘.将诸乘积相加,然后减去一百零五的倍数.列成算式就是：
N＝70×2＋21×3＋15×2－2×105.
有一首口诀就描述了孙子问题的解法：
孙子歌
三人同行七十稀,五树梅花廿一枝,
七子团圆正半月,除百令五便得知.
孙子算法的关键,在于70、21和15这三个数的确定.后来流传的《孙子歌》中所说“七十稀”、“廿一枝”和“正半月”,就是暗指这三个关键的数字.《孙子算经》没有说明这三个数的来历.
