解题思路:由题目条件对不等式化简得x≤
m
|x−m|
,由恒成立知m∉[1,2],对m讨论,将恒成立问题化为最值问题.
∵f(x)=
2x/x+1],
∴不等式f(x)≤[2m
(x+1)|x−m|可化为
2x/x+1]≤[2m
(x+1)|x−m|;
又∵x∈[1,2],
则x≤
m
|x−m|,
则x×|x-m|-m≤0,
∵当x∈[1,2]时,不等式f(x)≤
2m
(x+1)|x−m|恒成立,
∴m∉[1,2].
①当m<1时,x2-mx-m≤0在[1,2]上恒成立,
∵g(x)=x2-mx-m在[1,2]上单调递增;
∴g(2)=4-3m≤0,则m≥
4/3],不成立.
②当m>2时,x2-mx+m≥0在[1,2]上恒成立,
(Ⅰ)当2<m<4时,g(x)=x2-mx+m在[1,2]上的最小值为
g([m/2])=([m/2])2-m×[m/2]+m=m−
m2
4≥0
解得,2<m<4.
(Ⅱ)当m≥4时,g(x)=x2-mx+m在[1,2]上单调递减;
∴g(2)=4-m≥0,则m=4.
综上所述,2<m≤4.
点评:
本题考点: 函数恒成立问题.
考点点评: 本题考查了学生化简的能力,转化的思想及分类讨论的思想,综合性较强,属于中档题.
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