1.（5+√24）的2n次方的个位数是多少?2.x,y,z,为非负实数,且x+y+z=1 求证：x(1-2x)(1-3x
3个回答
1) 设(5+√24)^2n=A
(5-√24)^2n=B 则B=1/(5+√24)^2n∈（0,1）
而 将A,B的左边展开相加,奇数项符号相反,正好抵消
前面的偶数项一般式是 2[5^2k*24^(n-k)]都是10的倍数
最后一项为 2*24^n=2(25-1)^n 的末尾数为8 或者 2 （分n是奇数还是偶数）
所以,A的个位数为 7或者1
2）设f(t)=t(1-2t)(1-3t) t∈[0,1]
不妨设 f(t)=t(1-2t)(1-3t)≥a(3t-1) 在[0,1]恒成立,先确定a
因为所求不等式在 x=y=z=1/3时取等
故f(t)=t(1-2t)(1-3t)-a(3t-1)在t=1/3时取极小值,导数为0
故 18t^2-10t+1-3a=0 有一个根为x1=1/3,故 x2=2/9, a=25/81
所以g(t)在[0,2/9],[1/3,1]单调增加,在[2/9,1/3]单调减小
所以g(t)在[0,1]上的最小值为 min{g(0),g(1/3)}=0
所以 x(1-2x)(1-3x)+y(1-2y)(1-3y)+z(1-2z)(1-3z)
=f(x)+f(y)+f(z)
>=25(3x-1)/81+25(3y-1)/81+25(3z-1)/81=0
当且仅当x=y=z=1/3时取等
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