求证：a的n加2次方加﹙a+1﹚的2n加1次方能被a的平方加a加1整除
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利用归纳法证明

N=1时

a^(1+2)+(a+1)^(2*1+1)=a^3+(a+1)^3=(2a+1)[a^2- a(a+1)+(a+1)^2]

=(2a+1)(a^2+a+1)

可见能被a^2+a+1整除

假设N=n时,a^(n+2)+(a+1)^(2*n+1)能被a^2+a+1整除

那么当N=n+1时

a^[(n+1)+2]+(a+1)^[2*(n+1)+1]=a^(n+3)+(a+1)^(2*n+3)

=a*a^(n+2)+[(a+1)^2]*(a+1)^(2*n+1)

=a*a^(n+2)+(a^2+2a+1)*(a+1)^(2*n+1)

=a*a^(n+2)+(a^2)*(a+1)^(2*n+1)+2a*(a+1)^(2n+1)+(a+1)^(2n+1)

=[a*a^(n+2)+a*(a+1)^(2n+1)]+(a^2)*(a+1)^(2*n+1)+a*(a+1)^(2n+1)+(a+1)^(2n+1)

=[a*a^(n+2)+a*(a+1)^(2n+1)]+[(a+1)^(2*n+1)]*(a^2+a+1)

=a*[a^(n+2)+(a+1)^(2n+1)]+[(a+1)^(2*n+1)]*(a^2+a+1)

由于a^(n+2)+(a+1)^(2n+1)能被a^2+a+1整除,因此上式也能被a^2+a+1整除

因此N=n+1时,结果成立

因此a的n加2次方加﹙a+1﹚的2n加1次方能被a的平方加a加1整除

证明完毕

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