解题思路：（Ⅰ）由f（x）的图象与性质，讨论a的取值，从而确定f（x）在[-2，a]上的增减性，求出f（x）的值域．
（Ⅱ）把f（x+t）≤3x转化为（x+t）2+2（x+t）≤3x，即u（x）=x2+（2t-1）x+t2+2t，在x∈[1，m]恒小于0问题，考查u（x）的图象与性质，求出m的取值范围．
（Ⅰ）∵f（x）=x2+2x的图象是抛物线，开口向上，对称轴是x=-1，
∴当-2＜a≤-1时，f（x）在[-2，a]上是减函数，
f(x)max＝f(−2)＝0，f(x)min＝f(a)＝a2+2a，
∴此时f（x）的值域为：[a2+2a，0]；
当-1＜a≤0时，f（x）在[-2，a]上先减后增，
f（x）max=f（-2）=0，f（x）min=f（-1）=-1，
∴此时f（x）的值域为：[-1，0]；
当a＞0时，f（x）在[-2，a]上先减后增，
f(x)max＝f(a)＝a2+2a，f(x)min＝f(−1)＝−1，
∴此时f（x）的值域为：[-1，a2+2a]．
（Ⅱ）若存在实数t，当x∈[1，m]，f（x+t）≤3x恒成立，
即（x+t）2+2（x+t）≤3x，
∴x2+（2t-1）x+t2+2t≤0；
设u（x）=x2+（2t-1）x+t2+2t，其中x∈[1，m]
∵u（x）的图象是抛物线，开口向上，
∴u（x）max=max{u（1），u（m）}；
由u（x）≤0恒成立知
u(1)≤0
u(m)≤0；
化简得
−4≤t≤0
t2+2(1+m)t+m2−m≤0； v
令g（t）=t2+2（1+m）t+m2-m，
则原题转化为存在t∈[-4，0]，使得g（t）≤0；
即当t∈[-4，0]时，g（t）min≤0；
∵m＞1时，g（t）的对称轴是t=-1-m＜-2，
①当-1-m＜-4，即m＞3时，g（t）min=g（-4），
∴
m＞3
16−8(m+1)+m2−m≤0，
解得3＜m≤8；
②当-4≤-1-m＜-2
点评：
本题考点： 二次函数在闭区间上的最值；函数恒成立问题．
考点点评： 本题考查了二次函数在闭区间上的最值问题的应用，解题时应讨论对称轴在区间内？在区间左侧？区间右侧？从而确定函数的最值．
