解题思路:根据能被11整除的数的特征是:奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差是11的倍数,分别分析得出能被11整除的最大10位数与最小10位数是多少从而求出即可.
我们都知道,能被11整除的数的特征是:奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差是11的倍数.
(包括0)设组成的数的奇数位上的数字之和为x,偶数位上的数字之和为y.
则,x+y=0+1+2+…+9=45,x-y或y-x=0,11,22 (最大绝对值不会超过22),
由x+y=45是奇数,根据数的奇偶性可知x-y也是奇数,
所以x-y=11或-11.
解方程 x+y=45,x-y=11或-11 得x=28或17,y=17或28.
为排出最大的十位数,前几位尽量选用9,8,7,6 所以应取x=28,y=17.
这时,奇数位上另三位数字之和为:28-(9+7)=12,偶数位上另三位数字之和为:17-(8+6)=3,
所以,偶数位上的另三个数字只能是2,1,0;
从而奇数位上的另三个数字为5,4,3. 由此得到最大的十位数是9876524130.
设所求最小数是102abcdefg,根据被11整除的数的性质,
有:(各位数字之和)-(1+2+b+d+f)×2 能被11整除或者等于0,
∴39-(b+d+f)×2 能被11整除或者等于0,∵b、d、f只能从3、4、5、6、7、8、9中取值,
∴-9≤39-(b+d+f)×2≤15,
∴39-(b+d+f)×2=11或者0,当39-(b+d+f)×2=0时,无解.
当39-(b+d+f)×2=11时,b+d+f=14,可见,b、d、f的组合是3、4、7或者3、5、6,
①当b、d、f的组合是3、4、7时,对应的a、c、e、g的组合是5、6、8、9,从此得出的最小数是1025364879;
②当b、d、f的组合是3、5、6时,对应的a、c、e、g的组合是4、7、8、9,从此得出的最小数是1024375869.
∴最大和最小十位数之差为:9876524130-1024375869=8852148261.
故答案为:8852148261.
点评:
本题考点: 数的整除性.
考点点评: 此题主要考查数的整除性问题,难度较大,解答本题时关键是找到能被11整除的最大10位数与最小10位数是多少.
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