解题思路：（Ⅰ）求导数，利用若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=2x+n，建立方程，即可求实数m，n的值；

（Ⅱ）设g（x）=f（x）+2x²=x²+2lnx+mx，证明g（x）在（0，+∞）上递增，即可证明结论；

（Ⅲ）f′（x₀）=2（[2

x

1

+

x

2

-

ln

x

1

−ln

x

2

x

1

−

x

2

）=

2

x

1

−

x

2

•[

2(

x

1

−

x

2

)

x

1

+

x

2

-（lnx₁-lnx₂）]，证明

2(

x

1

−

x

2

)

x

1

+

x

2

-（lnx₁-lnx₂）=

2(t−1)/t+1]-lnt＞0，根据

2

x

1

−

x

2

＜0，即可得出结论．

（Ⅰ）∵f（x）=2lnx+mx-x²，

∴f′（x）=m+[2/x]-2x，

∵曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=2x+n，

∴f′（1）=m+2-2=2，

∴m=2，

∵f（1）=2-1+2×1+n，

∴n=-1；

（Ⅱ）证明：设g（x）=f（x）+2x²=x²+2lnx+mx．

∴g′（x）=2x+m+[2/x]

∵m＞-4，x＞0，

∴g′（x）=2x+m+[2/x]≥m+4＞0，

∴g（x）在（0，+∞）上递增，

∵a＞b＞0，

∴g（a）＞g（b），

∴f（a）+2a²＞f（b）+2b²，

∴

f(a)−f(b)

a2−b2＞-2；

（Ⅲ）证明：∵函数f（x）有两个零点x₁，x₂（x₁＜x₂），

∴2lnx₁+mx₁-x₁²=0，2lnx₂+mx₂-x₂²=0，

∴m=x₁+x₂-2•

lnx1−lnx2

x1−x2，

∵f′（x）=m+[2/x]-2x，x₀=

x1+x2

2，

∴f′（x₀）=2（[2

x1+x2-

lnx1−lnx2

x1−x2）=

2

x1−x2•[

2(x1−x2)

x1+x2-（lnx₁-lnx₂）]，

令t=

x1

x2，则t∈（0，1），

∴

2(x1−x2)

x1+x2-（lnx₁-lnx₂）=

2(t−1)/t+1]-lnt

设h（t）=

2(t−1)

t+1-lnt（t∈（0，1）），

则h′（t）=-

点评：

本题考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；导数的运算．

考点点评： 本题考查导数知识的综合运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性，正确构造函数是关键．

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