计算二重积分∫∫xydxdy,区域D由曲线y=根号(1-x^2),x^2+(y-1)^2=1与y轴所围区域的右上方部分.
1个回答
此题可化为极坐标求
曲线y=√(1-x^2),x^2+(y-1)^2=1的交点坐标为（√3/2,1/2)
画出所围成区域：
y=√(1-x^2)部分化为极坐标方程为r=1,θ∈（π/6,π/2)
x^2+(y-1)^2=1部分化为极坐标方程为：r=2sinθ ,θ∈（0,π/6)
对所围成区域分为两部分积分：
∫∫xydxdy
=∫∫r^2cosθsinθrdrdθ
=∫(0→π/6)cosθsinθdθ∫(0→2sinθ)r^3dr+∫(π/6→π/2)cosθsinθdθ∫(0→1)r^3dr
=4∫(0→π/6)(sinθ)^5dsinθ+(1/4)∫(π/6→π/2)sinθdsinθ
=1/96+3/32
=5/48
当然此题也可以不用化为极坐标,直接用直角坐标求
确定两圆在第一象限的交点为（√3/2,1/2)：
∫∫xydxdy
=∫(0→√3/2)xdx ∫(1-√1-x^2→√1-x^2) ydy
=5/48
相比来说,似乎用直角坐标更简单一些!
以上答案仅供参考,
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