求一道在曲线方程或者椭圆里能用到均值不等式的题
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例1如图所示,抛物线y2=4x的顶点为O,点A的坐标为(5,0),倾斜角为 的直线l与线段OA相交(不经过点O或点A)且交抛物线于M、N两点,求△AMN面积最大时直线l的方程,并求△AMN的最大面积
命题意图 直线与圆锥曲线相交,一个重要的问题就是有关弦长的问题 本题考查处理直线与圆锥曲线相交问题的第一种方法——“韦达定理法”
知识依托 弦长公式、三角形的面积公式、不等式法求最值、函数与方程的思想
错解分析 将直线方程代入抛物线方程后,没有确定m的取值范围 不等式法求最值忽略了适用的条件
技巧与方法 涉及弦长问题,应熟练地利用韦达定理设而不求计算弦长,涉及垂直关系往往也是利用韦达定理,设而不求简化运算
解 由题意,可设l的方程为y=x+m,其中－5＜m＜0
由方程组 ,消去y,得x2+(2m－4)x+m2=0 ①
∵直线l与抛物线有两个不同交点M、N,
∴方程①的判别式Δ=(2m－4)2－4m2=16(1－m)＞0,
解得m＜1,又－5＜m＜0,∴m的范围为(－5,0)
设M(x1,y1),N(x2,y2)则x1+x2=4－2m,x1•x2=m2,
∴|MN|=4
点A到直线l的距离为d=
∴S△=2(5+m) ,从而S△2=4(1－m)(5+m)2
=2(2－2m)•(5+m)(5+m)≤2( )3=128
∴S△≤8 ,当且仅当2－2m=5+m,即m=－1时取等号
故直线l的方程为y=x－1,△AMN的最大面积为8
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