已知函数f（x）=x3+x．（1）判断函数f（x）的奇偶性，并证明你的结论；（2）求证：f（x）是R上的增函数；（3）若
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解题思路：（1）f（-x）=-x3-x=-（x3+x）=-f（x），可得f（x）是R上的奇函数
（2）设R上任意实数x1、x2满足x1＜x2，再用单调性的定义证明．
（3）f（m+1）+f（2m-3）＜0，可化为f（m+1）＜-f（2m-3）=f（3-2m），再由函数f（x）是R上的增函数，得m+1＜3-2m．
（1）f（x）是R上的奇函数
证明：∵f（-x）=-x3-x=-（x3+x）=-f（x），
∴f（x）是R上的奇函数
（2）设R上任意实数x1、x2满足x1＜x2，∴x1-x2＜0，
f（x1）-f（x2）=（x1-x2）+[（x1）3-（x2）3]=（x1-x2）[（x1）2+（x2）2+x1x2+1]=（x1-x2）[（x1+[1/2]x2）2+[3/4]x22+1]＜0恒成立，
因此得到函数f（x）是R上的增函数．
（3）f（m+1）+f（2m-3）＜0，可化为f（m+1）＜-f（2m-3），
∵f（x）是R上的奇函数，∴-f（2m-3）=f（3-2m），
∴不等式进一步可化为f（m+1）＜f（3-2m），
∵函数f（x）是R上的增函数，
∴m+1＜3-2m，
∴m＜
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点评：
本题考点： 函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．
考点点评： 本题主要考查了函数的单调性和奇偶性、解不等式等知识，属于中档题．
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