已知函数fx=(xlnx)/(x+1)与直线l:y=m(x-1)

已知函数fx=(xlnx)/(x+1)与直线l:y=m(x-1)

（1）若对于任意的x属于【1，正无穷），fx≤m（x-1）恒成立，求m的取值范围。

（2）求证：1/4【ln（2n+1）】＜i/（4i²-1），i从1到n（n为正整数）的求和

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(1)

当x∈[1,+∞)时，f(x)≤m（x-1）恒成立，即f(x)-m(x-1)≤0恒成立

即

f(x)-m(x-1)=(xlnx)/(x+1) - m(x-1) = (xlnx-m(x-1)(x+1))/(x+1)

=(xlnx-m(x²-1))/(x+1)

=-(mx²-m-xlnx)/(x+1)≤0

不等式左边分母(x+1)显然大于0，从而

mx²-m-xlnx≥0恒成立 ①

由于x=1时，①式显然恒成立（不等式左右都为0），与m取值无关，

所以我们只需讨论x>1的情况，来研究m的取值范围。

当x>1时，①式改为，即m≥xlnx/(x²-1)恒成立

令g(x)=xlnx/(x²-1)

也就是需要m≥g(x)的最大值恒成立

现在来求g(x)的最大值

显然x>1时,求g(x)当x→1+时的极限：

lim_(x→1+)g(x) = lim_(x→1+)xlnx/(x²-1)

= lim_(x→1+)x * lim_(x→1+)lnx/(x²-1)

而右边因子lim_(x→1+)lnx/(x²-1)应用罗比塔法则，=lim_(x→1+)(1/x)/2 = 1/2

所以lim_(x→1+)g(x) =1/2

显然x>1时，g(x)>0,再求g(x)当x→+∞时的极限：

lim_(x→+∞)g(x) = lim_(x→+∞)xlnx/(x²-1)

应用罗比塔法则，=lim_(x→+∞)(lnx+1)/2x

再次应用罗比塔法则，=lim_(x→+∞)(1/x)/2

=0

我们猜想g(x)在x>1时，单调递减。从而m的取值范围是[1/2,+∞)

只需证明g'(x)

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