过点（根号2,0）引直线l与曲线y=根号下(1+x^2)相交于A,B两点,O为坐标原点,当三角形AOB的面积取最大值时,
1个回答
显然y=√(1+x^2)≥1
由上述函数式易知y^2-x^2=1
表明函数图象为等轴双曲线（焦点在y轴）的上方一支
当过定点（√2,0）的直线L垂直于x轴时,直线与曲线只有一个交点,不符题意
也就是说满足条件的直线L不可能垂直于x轴,即直线L的斜率存在
不妨由定斜式令直线L：y=k(x-√2)
令A(x1,y1),B(x2,y2)
联立直线与曲线方程得(k^2-1)x^2-2√2k^2x+2k^2-1=0
当k^2-1=0时,上述方程仅有一根,表明直线与曲线不可能有两个交点,不符题意
事实上,当直线L平行于渐近线时,直线与双曲线最多只有一个交点,所以k^2-1≠0,即k≠±1
由韦达定理有x1+x2=2√2k^2/(k^2-1),x1x2=(2k^2-1)/(k^2-1)
由弦长公式|AB|=|x1-x2|√(1+k^2)=√[(x1+x2)^2-4x1x2]√(1+k^2)=[2√(3k^2-1)*√(1+k^2)]/|k^2-1|（I）
注意到|AB|存在,即3k^2-1>0,即k√3/3
由点到直线距离公式得原点O到直线L的距离d=√2|k|/√(1+k^2)（II）
由（I）（II）及面积公式得S⊿AOB=1/2*|AB|*d=√2|k/(k^2-1)|√(3k^2-1)
上式两边平方得S⊿AOB^2=(6k^4-2k^2)/(k^4-2k^2+1)
令S⊿AOB^2=s（s>0）
令k^2=t（t>0）
则有(s-6)t^2+2(1-s)t+s=0
因k存在,则t也存在,上述方程有解
若s-6=0即s=6时,t=3/5
若s-6≠0,则⊿=[2(1-s)]^2-4(s-6)s≥0,解得s≤1/4
由此知smax=6,此时t=3/5,k=±√15/5
相关问题
