梯形的中位线怎么计算?

1个回答

1.中位线概念： (1)三角形中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． (2)梯形中位线定义：连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线．注意： (1)要把三角形的中位线与三角形的中线区分开．三角形中线是连结一顶点和它的对边中点的线段,而三角形中位线是连结三角形两边中点的线段． (2)梯形的中位线是连结两腰中点的线段而不是连结两底中点的线段． (3)两个中位线定义间的联系：可以把三角形看成是上底为零时的梯形,这时梯形的中位线就变成三角形的中位线． 2.中位线定理： (1)三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半． (2)梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底,并且等于两底和的一半．中位线是三角形与梯形中的一条重要线段,由于它的性质与线段的中点及平行线紧密相连,因此,它在几何图形的计算及证明中有着广泛的应用．　　例1 如图2-53所示．△ABC中,AD⊥BC于D,E,F,△ABC的面积．　　分析由条件知,EF,EG分别是三角形ABD和三角形ABC的中位线．利用中位线的性质及条件中所给出的数量关系,不难求出△ABC的高AD及底边BC的长．　　解由已知,E,F分别是AB,BD的中点,所以,EF是△ABD的一条中位线,所以　　由条件AD+EF=12(厘米)得EF=4(厘米),　　从而 AD=8(厘米),　　由于E,G分别是AB,AC的中点,所以EG是△ABC的一条中位线,所以BC=2EG=2×6=12(厘米),　　显然,AD是BC上的高,所以　　例2 如图 2-54 所示．△ABC中,∠B,∠C的平分线BE,CF相交于O,AG⊥BE于G,AH⊥CF于H．　　(1)求证：GH∥BC；　　(2)若AB=9厘米,AC=14厘米,BC=18厘米,求GH．　　分析若延长AG,设延长线交BC于M．由角平分线的对称性可以证明△ABG≌△MBG,从而G是AM的中点；同样,延长AH交BC于N,H是AN的中点,从而GH就是△AMN的中位线,所以GH∥BC,进而,利用△ABC的三边长可求出GH的长度．　　(1)证分别延长AG,AH交BC于M,N,在△ABM中,由已知,BG平分∠ABM,BG⊥AM,所以△ABG≌△MBG(ASA)．　　从而,G是AM的中点．同理可证△ACH≌△NCH(ASA),　　从而,H是AN的中点．所以GH是△AMN的中位线,从而,HG∥MN,即HG∥BC．　　(2)解由(1)知,△ABG≌△MBG及△ACH≌△NCH,所以AB=BM=9厘米,AC=CN=14厘米．　　又BC=18厘米,所以BN=BC-CN=18-14=4(厘米),MC=BC-BM=18-9=9(厘米)．　　从而MN=18-4-9=5(厘米),