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三角函数在实际中的应用
浙江省诸暨市学勉中学（311811）郭天平
三角函数实际应用常涉及生活、生产、天文、地理、军事等诸多方面的实际问题，以平面图形为数学背景，通过设角建立三角式、进行三角变换转化为三角函数问题来解决．本文列举几个具体例子，供同学们参考．
1．实际测量中应用
例1．某人身高1.8米，在黄浦江边测得对岸东方明珠塔尖的仰角 ，测得东方明珠塔在黄浦江中倒影的塔尖的俯角 ，如图1，求东方明珠塔的高
分析：根据实物与倒影的对称性，通过两直角三角形中的边角关系求塔高
设黄浦江宽为 米，得 ， 两式相除得，
，即 ，因 ， ，代入得，
（米），即东方明珠塔的高为490米。
【点评】这是一个三角函数在实际测量方面的应用题，在解决过程中运用了几何知识和方程思想，其中三角函数式的化简在解题中起了关键作用。
2．生产建造成本中的应用
例2．如图2，一条宽为1km的河两岸各有一座城市A和B，A与B的直线距离是4km，现要铺设一条电缆线连接A与B两座城市，已知地下电缆的修建费是2万元/km，水下电缆的修建费为4万元/km，假定河两岸是平行的直线（没有弯曲），问如何铺设电缆方可使总施工费用达到最省？
分析：如图所示，设 ，建立从A到B铺设电缆的总费用的函数关系，再求函数最值。
如图2，电缆以 的路线（D在线段CB上）
设 ，
故铺设电缆的总费用为
即 （其中锐角 满足 ）
令 ，则 ，即 （其中 ）
显然 ，故当 ，即 时， 取最小值4，即
， ，当 时，解得 ，此时 取最小值 ，可得 （km）,即水下电缆应从距B城 的D处向A城铺设。
【点评】认真审题，建立目标函数，适当设角，得到三角函数关系式，是解三角函数实际问题的关键；本题对实际意义的理解，结合图形分析，利用变换 转化求最值，从而得到最合理的铺设方案。
