已知定义域为R的函数f(x)＝−2x+a2x+1+b是奇函数．
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解题思路：（1）利用函数是奇函数，建立方程关系解a，b．（2）利用定义法证明函数的单调性．
（3）利用函数的奇偶性将不等式转化为f（mx2+x-3）＞-f（x2-mx+3m）=f（-x2+mx-3m），然后利用单调性解不等式．
（1）∵f(x)＝
−2x+a
2x+1+b是R上的奇函数，f（0）=0，
即[a−1/b+2＝0，解得a=1．
∴f(x)＝
−2x+1
2x+1+b]，
又f（-1）=-f（1），
∴[1−2/b+4＝−
1−
1
2
b+1]，∴b=2，经检验符合题意．
∴a=1，b=2．
（2）由（1）可知f(x)＝
−2x+1
2x+1+2＝−
1
2+
1
2x+1，
设x1＜x2，f(x1)−f(x2)＝
2x2−2x1
(2x1+1)(2x2+1)，
∵y=2x在R单调递增，∴2x2＞2x1＞0，
∴f（x1）＞f（x2），
即f（x）在（-∞，+∞）上为减函数．
（3）∵f（x）在（-∞，+∞）上为减函数，且为奇函数，
∴原不等式等价为f（mx2+x-3）＞-f（x2-mx+3m）=f（-x2+mx-3m），
∴（m+1）x2+（1-m）x+3（m-1）＜0
①m=-1时，不等式2x-6＜0，即x＜3，不符合题意．
②m≠-1时，要使不等式恒成立，则
m+1＜0
△＜0，解得m＜−
13
11．
综上，m＜−
13
11．
点评：
本题考点： 奇偶性与单调性的综合．
考点点评： 本题主要考查函数奇偶性的应用，利用定义法证明函数的单调性，以及函数单调性和奇偶性的综合应用，利用函数的奇偶性将不等式进行转化是解决本题的关键．
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