sinA-sinB=sin[(A+B)/2+(A-B)/2]-sin[(A+B)/2-(A-B)/2]
=[sin(A+B)/2cos(A-B)/2+cos(A+B)/2sin(A-B)/2]-[sin(A+B)/2cos(A-B)/2-cos(A+B)/2sin(A-B)/2]
=2cos(A+B)/2sin(A-B)/2
根据边角边公理,这个三角形当然只有一个解.
首先根据余弦定理,
a^2
=36+81-6*9*2^0.5
=117-54*2^0.5
=9(12+1-2*1*3*2^0.5)
所以a=3(3*2^0.5-1)
根据正弦定理,a/sinA=b/sinB=c/sinC
所以3(6-2^0.5)=9/sinB=6/sinC
从而sinB=3/(6-2^0.5)=3(6+2^0.5)/34,sinC=2/(6-2^0.5)=2(6+2^0.5)/34.
容易知道这个三角形是锐角三角形,所以B=arcsin3(6+2^0.5)/34,C=arcsin2(6+2^0.5)/34.
(a^2+b^2)sin(A-B)=(a^2-b^2)sin(A+B)
(a^2+b^2)(sinAcosB-sinBcosA)=(a^2-b^2)(sinAcosB+sinBcosA)
(a^2+b^2)(a/2R*(a^2+c^2-b^2)/2ac-b/2R*(c^2+b^2-a^2)/2bc)=(a^2-b^2)(a/2R*(a^2+c^2-b^2)/2ac+b/2R*(c^2+b^2-a^2)/2bc)
两边同乘4Rabc,
(a^2+b^2)[ab(a^2+c^2-b^2)-ab(c^2+b^2-a^2)]=(a^2-b^2)[ab(a^2+c^2-b^2)+ab(c^2+b^2-a^2)]
同除以ab并化简,
2(a^2+b^2)(a^2-b^2)=2c^2(a^2-b^2)
即
(a^2+b^2-c^2)(a^2-b^2)=0.
该式等于0,意味着a^2+b^2=c^2,或者a=b.
因此,该三角形是等腰三角形或直角三角形（当然也可能但不必然是等腰直角三角形）.
