（2010•江西模拟）过正方体ABCD-A1B1C - 已解决

（2010•江西模拟）过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A1在空间作直线l，使l与直线AC和BC1所成的角都等于[

（2010•江西模拟）过正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的顶点A₁在空间作直线l，使l与直线AC和BC₁所成的角都等于[π/3]，则这样的直线l共可以作出（　　）

A．1条

B．2条

C．3条

D．4条

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解题思路：根据题意，因为AD₁∥BC₁，所以直线AC和BC₁所成的角即为直线AC和AD₁所成的角，所以过A₁在空间作直线l，使l与直线AC和BC₁所成的角都等于[π/3]，可转化为过点A在空间作直线l，使l与直线AC和AD₁所成的角都等于[π/3]．可分在平面ACD₁内和在平面ACD₁外两种情况寻找．因为要与直线AC和AD₁所成的角都相等，故在平面ACD₁内可考虑角平分线；在平面ACD₁外可将角平分线绕点A旋转考虑．

因为AD₁∥BC₁，所以直线AC和BC₁所成的角即为直线AC和AD₁所成的角，所以过A₁在空间作直线l，使l与直线AC和BC₁所成的角都等于[π/3]，即过点A在空间作直线l，使l与直线AC和AD₁所成的角都等于[π/3]．

因为∠ACD₁=60°，∠ACD₁的外角平分线与AC和AD₁所成的角相等，均为60°，所以在平面ACD₁内有一条满足要求．

因为∠ACD₁的角平分线与AC和AD₁所成的角相等，均为30°，将角平分线绕点A向上转动到与面ACD₁垂直的过程中，存在两条直线与直线AC和BC₁所成的角都等于[π/3]，故符合条件的直线有3条．

故选C

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本题考点：空间中直线与直线之间的位置关系．

考点点评：本题考查异面直线所成角的问题，考查空间想象能力和转化能力．

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