设曲线y=xn+1（n∈N*）在点（1，1）处的切 - 已解决

设曲线y=xn+1（n∈N*）在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，令an=lgxn，则a1+a2+…+a9

设曲线y=xⁿ⁺¹（n∈N^*）在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为x_n，令a_n=lgx_n，则a₁+a₂+…+a₉₉的值为______．

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解题思路：由曲线y=xⁿ⁺¹（n∈N^*），知y′=（n+1）xⁿ，故f′（1）=n+1，所以曲线y=xⁿ⁺¹（n∈N^*）在（1，1）处的切线方程为y-1=（n+1）（x-1），该切线与x轴的交点的横坐标为x_n=[n/n+1]，故a_n=lgn-lg（n+1），由此能求出a₁+a₂+…+a₉₉．

∵曲线y=xⁿ⁺¹（n∈N^*），

∴y′=（n+1）xⁿ，∴f′（1）=n+1，

∴曲线y=xⁿ⁺¹（n∈N^*）在（1，1）处的切线方程为y-1=（n+1）（x-1），

该切线与x轴的交点的横坐标为x_n=[n/n+1]，

∵a_n=lgx_n，

∴a_n=lgn-lg（n+1），

∴a₁+a₂+…+a₉₉

=（lg1-lg2）+（lg2-lg3）+（lg3-lg4）+（lg4-lg5）+（lg5-lg6）+…+（lg99-lg100）

=lg1-lg100=-2．

故答案为：-2．

点评：

本题考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；数列的求和．

考点点评：本题考查利用导数求曲线的切线方程的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．

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