如图，P是等边三角形ABC内的一点，连接PA，PB，PC，以BP为边作∠PBQ=60°，且BQ=BP，连接CQ．
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解题思路：根据等边三角形的性质利用SAS判定△ABP≌△CBQ，从而得到AP=CQ；设PA=3a，PB=4a，PC=5a，由已知可判定△PBQ为正三角形从而可得到PQ=4a，再根据勾股定理判定△PQC是直角三角形．
（1）猜想：AP=CQ，
证明：∵∠ABP+∠PBC=60°，∠QBC+∠PBC=60°，
∴∠ABP=∠QBC．
又AB=BC，BP=BQ，
∴△ABP≌△CBQ，
∴AP=CQ；
（2）由PA：PB：PC=3：4：5，
可设PA=3a，PB=4a，PC=5a，
连接PQ，在△PBQ中
由于PB=BQ=4a，且∠PBQ=60°，
∴△PBQ为正三角形．
∴PQ=4a．
于是在△PQC中
∵PQ2+QC2=16a2+9a2=25a2=PC2
∴△PQC是直角三角形．
点评：
本题考点： 等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理的逆定理．
考点点评： 此题考查学生对等边三角形的性质，直角三角形的判定及全等三角形的判定方法的综合运用．
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