3个.
因为3x^2+6x-1/x=0,
所以可设y1=3x^2+6x,y2=1/x,
则y1=y2,
作出这两个函数的图象,
分别为抛物线y1=3x^2+6x=3(x^2+2x+1)-3=3(x+1)^2-3和双曲线y2=1/x,显然,抛物线的顶点在(-1,-3)开口向上,
所以顶点在第三象限内,
而双曲线显然在第一,三象限内,
且经过点(-1,-1)在抛物线与两坐标轴围成的区域内,
所以,在第三象限内就有两个交点,即两个解;
显然抛物线与双曲线在第一象限内必有一个交点,即有一个解,
从而原方程有3个解.
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