设函数f(x)＝
x 3－
x 2＋bx＋c，其中a>0，曲线y＝f(x)在点P(0，f(0))处的切线方程为y＝1.
(1)确定b，c的值；
(2)设曲线y＝f(x)在点(x 1，f(x 1))及(x 2，f(x 2))处的切线都过点(0,2)．
证明：当x 1≠x 2时，f ′(x 1)≠f ′(x 2)；
(3)若过点(0,2)可作曲线y＝f(x)的三条不同切线，求a的取值范围．
(1)由f(x)＝
x 3－
x 2＋bx＋c，得f(0)＝c，f ′(x)＝x 2－ax＋b，f ′(0)＝b，
又由曲线y＝f(x)在点P(0，f(0))处的切线方程为y＝1，得f(0)＝1，f ′(0)＝0，故b＝0，c＝1.
(2)f(x)＝
x 3－
x 2＋1，f ′(x)＝x 2－ax，由于点(t，f(t))处的切线方程为y－f(t)＝f ′(t)(x－t)，
而点(0,2)在切线上，所以2－f(t)＝f ′(t)(－t)，化简得
t 3－
t 2＋1＝0，
即t满足的方程为
t 3－
t 2＋1＝0，
下面用反证法证明：假设f ′(x 1)＝f ′(x 2)，
由于曲线y＝f(x)在点(x 1，f(x 1))及(x 2，f(x 2))处的切线都过点(0,2)，则下列等式成立：
由③得x 1＋x 2＝a，由①－②得x 1 2＋x 1x 2＋x 22＝
a 2④
又x 1 2＋x 1●x 2＋x 2 2＝(x 1＋x 2) 2－x 1x 2＝a 2－x 1(a－x 2)＝x 1 2－ax 1＋a 2＝(x 1－
) 2＋
a 2≥
a 2
故由④得，x 1＝
，此时x 2＝
与x 1≠x 2矛盾，所以f ′(x 1)≠f ′(x 2)．
(3)由(2)知，过点(0,2)可作y＝f(x)的三条切线，等价于方程2－f(t)＝f ′(t)(0－t)有三个相异的实根，即等价于方程
t 3－
t 2＋1＝0有三个相异的实根．
设g(t)＝
t 3－
t 2＋1，则g′(t)＝2t 2－at＝2t(t－
)
由于a>0，故有
由g(t)的单调性可知：要使g(t)＝0有三个相异的实根，当且仅当1－
<0，即a>
，
∴a的取值范围是(
，＋∞)
