D,E,F分别为三角形ABC BC,AB,AC的中点,DN为∠ADC的角平分线交AC于N DM为∠ADB角平分线连MN交
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这题稍微难一些了.
证：
不妨设ΔABC为锐角三角形,这样M、N点就分别落在线段BE、CF上了.
因为DN、DM为平分线,所以AN/NC=AD/DC,AM/MB=AD/DB
而DC=DB,故AN/NC=AM/MB,所以MN∥BC,所以O为MN中点
对EOQ截ΔAMN运用梅涅劳斯定理,得(AQ/QN)·(NO/OM)·(ME/EA)=1
而其中NO/OM=1,所以QN/AQ=ME/EA
EA=(1/2)AB
由AM/MB=AD/DB得,AM/(AM+MB)=AD/(AD+DB),即AM/AB=AD/(AD+DB)……(*)
所以AM=AB·AD/(AD+DB)
所以ME=AM-AE=AB·AD/(AD+DB)-(1/2)AB
所以ME/EA=2AD/(AD+DB)-1=(AD-DB)/(AD+DB)
所以QN/AQ=ME/EA=(AD-DB)/(AD+DB)
所以AN/AQ=1-QN/AQ=2DB/(AD+DB)=BC/(AD+DB)……(**)
同理AM/AP=BC/(AD+DC)
而DB=DC,所以AN/AQ=AM/AP,所以PQ∥MN
因为MN∥BC,所以MN/BC=AM/AB
所以MN=BC·AM/AB=BC·AD/(AD+DB) （由(*)式）
又因为PQ∥MN,所以PQ/MN=AQ/AN,所以PQ=MN·(AQ/AN)=MN/(AN/AQ)=AD （由(**)式）
证毕
梅涅劳斯定理如果不会的话baidu一下就行了
不过这题难度突然就上去了,和前面那题完全不在一个层面啊.
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