已知过函数f(x)=x³+ax²+1的图像上一点B（1,b）的切线斜率为－3.
1个回答

(1)

f'(x)=3x²+2ax

x=1 f'(x)=-3代入

2a+3=-3

a=-3

f(x)=x³-3x²+1

x=1代入

f(x)=b=1-3+1=-1

a=-3 b=-1

(2)

f(x)≤A-1987

x³-3x²+1≤A-1987

x³-3x²+1988-A≤0

x²(x-3)≤A-1988

f'(x)=3x²-6x≤0

0≤x≤2

函数在[0,2]上单调递减,在[-1,0]上单调递增,在[2,4]上单调递增.要不等式对于x∈[-1,4]上恒成立,即函数取最大值时,仍有不等式成立.

考察函数的边界点和极值点：f(-1)=-3 f(0)=1 f(4)=17,当x=4时,f(x)取得最大值.

A-1988≥17

A≥2005

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