已知数列{an}的前n项和Sn＝an2+bn+c(a≠0)，求数列{an}成等差数列的充要条件．
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解题思路：由Sn求an的过程可得必要条件是：a≠0，c=0．只需再证明充分性即可，注意n的范围的限制．
当n=1时，a1=a+b+c；当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2an+b-a
由于a≠0，∴当n≥2时，{an}是公差为2a等差数列．
要使{an}是等差数列，则a2-a1=2a，解得c=0．
即{an}是等差数列的必要条件是：a≠0，c=0．
充分性：
当a≠0，c=0时，Sn＝an2+bn．
当n=1时，a1=a+b；当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2an+b-a，
显然当n=1时也满足上式，
∴an＝2an+b−a(n∈N*)⇒an−an−1＝2a(n∈N*)
∴{an}是等差数列．
综上可知，数列{an}是等差数列的充要条件是：a≠0，c=0．
点评：
本题考点： 等差数列的前n项和；等差关系的确定．
考点点评： 本题考查等差数列的通项公式和求和公式的特点，涉及充要条件的证明，属基础题．
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