1.- 已知X不等于Y,且X^2-X=13,Y^2-Y=13,求X+Y-7的值.
首先,我们注意到:
x^2 - x = 13 --> x^2 - x - 13 = 0
这是一个 az^2 + bz + c = 0 式的一元二次方程(其中 a = 1,b = -1,c = -13 ),而且 b^2 - 4ac > 0,说明此方程有2个不同的实数解.
然后,我们发现关于y的方程:
y^2 - y = 13 --> y^2 - y - 13 = 0
与x的方程一模一样,而且,由于x不等于y,唯一的可能就是x,y分别就是方程
z^2 - z - 13 = 0 的两个不相同的实数解.
我们也知道,方程 az^2 + bz + c = 0 中:
两个解之和:z1 + z2 = -b/a
两个解之积:z1 * z2 = c/a
在我们的方程中,z1 和 z2 分别就是 x 和 y,而由于a = 1,b = -1,c = -13,我们得知 -b/a = 1,也就是说,x + y = 1
所以 x+y-7 的值是 -6
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2.- 已知 X+Y-2=0,求（X^2-Y^2）^2-8（X^2+Y^2）的值
x + y - 2 = 0 --> x + y = 2
(X^2-Y^2)^2 - 8（X^2 + Y^2）= [(x+y)(x-y)]^2 - 8(x^2 + y^2)
我们知道 x+y = 2,所以
[(x+y)(x-y)]^2 - 8(x^2 + y^2) = [2(x-y)]^2 - 8(x^2 + y^2)
= 4( x^2 - 2xy + y^2 ) - 8x^2 - 8y^2
= 4x^2 - 8xy + 4y^2 - 8x^2 - 8y^2
= -4x^2 - 8xy - 4y^2
= -4(x^2 + 2xy + y^2)
= -4[(x+y)^2]
x+y = 2,所以
= -4[(x+y)^2] = -4*4 = -16
所以 (X^2-Y^2)^2 - 8（X^2 + Y^2）= -16
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3.- 求证：25^7 - 5^12 能被120整除
证:
25^7 = (5*5)^7 = (5^2)^7 = 5^14 = 5^2 * 5^12 = 25 * 5^12
因此:25^7 - 5^12 = 25 * 5^12 - 5^12 = 5^12 * (25 - 1) = 24 * 5^12 = 24 * 5 * 5^11 = 120 * 5^11
很明显,25^7 - 5^12 是 120 的倍数,所以一定能被120整除
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4.- 已知 x^2- 3xy + 2y^2 = 14,且 X-Y =7,求 X-2Y 的值
x^2 - 3xy + 2y^2 = 14
(x-y)(x-2y) = 14
我们知道 x-y = 7
(x-y)(x-2y) = 14 --> 7(x-2y) = 14
所以(x-2y) = 2
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如果有更多题目的话,我还乐意帮忙,
