已知关于x的一元二次方程x 2 (2k+3)x+k 2 +3k+2=0
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（1）有两个不相等的实数根；（2）
；（3）①2或3；②k=3或4，周长为14和16
试题分析：（1）先由题意求得根的判别式△
的值，即可作出判断；
（2）设方程x 2
(2k+3)x+k 2+3k+2=0的两个根为
，
，根据题意得
．又由一元二次方程根与系数的关系得，
，从而可得
，再根据二次函数的性质即可求得结果；
（3）①由题意可得x 1="k" +1，x 2=k+2．不妨设AB=k+1，AC=k+2．再根据勾股定理即可列方程求解；
②分AC=BC=5与AB=BC=5两种情况，结合等腰三角形的性质求解即可.
（1）由方程x 2
(2k+3)x+k 2+3k+2=0，得b 2
4ac=1，
方程有两个不相等的实数根；
（2）设方程x 2
(2k+3)x+k 2+3k+2=0的两个根为
，
，根据题意得
．
又由一元二次方程根与系数的关系得，
，
所以，当k＝
时,m取得最小值
；
（3）①x 1="k" +1，x 2=k+2．不妨设AB=k+1，AC=k+2．
斜边BC=5时，有AB 2+AC 2=BC 2，即(k+1) 2+(k+2) 2=25
解得k 1=2，k 2=
5(舍去)
当k="2" 时，△ABC是直角三角形；
②
AB=k+1，AC=k+2，BC=5,
由（1）知AB≠AC
故有两种情况：
（Ⅰ）当AC=BC=5时，k+2=5，k=3．
∵5、5、4能组成三角形，
△ABC的周长为5+5+k+1=14
（Ⅱ）当AB=BC=5时，k+1=5，k=4．
∵5、5、6能组成三角形，
△ABC的周长为5+5+k+2=16．
故△ABC的周长分别是14和16．
点评：解题的关键是熟记一元二次方程根的情况与判别式△
的关系：（1）
方程有两个不相等的实数根；（2）
方程有两个相等的实数根；（3）
方程没有实数根．
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