设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R）满足下列条件：
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解题思路：（1）由“当x∈（0，5）时，x≤f（x）≤2|x-1|+1恒成立”得到当x=1时，也成立，所以有1≤f（1）≤1，
从而得到f（1）；
（2）由“当x∈R时，f（x）的最小值为0，且图象关于直线x=-1对称”，可知对称轴及在对称轴处取得最值，创造两个条件，再由f（1）=1，可求得二次函数的解析式．
（3）根据第二问可设：g（x）=f（x）-x=
1
4
(x−1)
2
，由“|f（x）-x|≤1”可得x∈[-1，3]，从而求得结论．
（1）∵当x∈（0，5）时，x≤f（x）≤2|x-1|+1恒成立
∴1≤f（1）≤1
∴f（1）=1；
（2）∵当x∈R时，f（x）的最小值为0，且图象关于直线x=-1对称；
∴−
b
2a＝−1，f（-1）=a-b+c=0
又∵f（1）=a+b+c=1
∴a＝
1
4，b＝
1
2，c＝
1
4
∴f(x)＝
1
4(x+1)2；
（3）设g（x）=f（x）-x=
1
4(x−1)2
关于x=1对称
当x∈[-1，3]时，|f（x）-x|≤1
∴0≤m≤3．
点评：
本题考点： 二次函数的性质；函数解析式的求解及常用方法；函数恒成立问题．
考点点评： 本题主要考查二次函数求解析式，里面有三个未知数所以要寻求三个条件来解，同时还考查了用二次函数构造新函数来研究恒成立问题，二次函数渗透性强，应用范围广，图象和性质要灵活掌握．
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