已知△ABC中,M是BC中点,AE是角BAC的平分线,过B作BD垂直AE,垂足为D,交AC于B’,AM与BD相交于F,求
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因为,∠ABD = 90°-∠DAB = 90°-∠DAB' = ∠AB'D ,
所以,AB = AB' ,
连接EB',
在等腰△ABB'中,顶角平分线AD是底边BB'的垂直平分线,即有：EB = EB' ,
可得：∠EBB' = ∠EB'B ；
在等腰△EBB'中,底边BB'上的高平分顶角∠BEB' ,即有：∠BED = ∠B'ED ；
连接DM,
因为,BD = B'D ,BM = CM ,
所以,DM是△BB'C的中位线,
可得：DM∥AC ,B'C = 2DM ,
则有：AC = AB'+B'C = AB'+2DM ；
已知,AE是∠BAC的平分线,可得：AB/AC = BE/CE ；
BF = BD+DF = B'D+DF = B'F+DF+DF = B'F+2DF ；
CE = CM+ME = BM+ME = BE+ME+ME = BM+2ME ；
因为,DM∥AC ,
所以,B'F/DF = AB'/DM ,
可得：B'F/(B'F+2DF) = AB'/(AB'+2DM) ,
则有：B'F/BF = AB'/AC = AB/AC = BE/CE ,
可得：B‘F/(B'F+BF) = BE/(BE+CE) ,
则有：B'F/BB' = BE/BC = B'E/BC ,
即有：B'F/B'E = BB'/BC ；
因为,在△B'EF和△BCB'中,∠EB'F = ∠CBB' , B'F/B'E = BB'/BC ,
所以,△B'EF ∽ △BCB' ,
可得：∠B'EF = ∠BCB' ；
因为,∠AEF = ∠AEB'-∠B'EF = ∠AEB-∠BCB' = ∠EAC = ∠EAB ,
所以,EF∥AB .
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