求方程根个数,讨论a的取值范围
1个回答

令f(x)=e^x,g(x)=ax^2,h(x)=f(x)-g(x).显然上述三函数均连续.

易得h(-∞)＜0,h(0)＞0,因此必存在一点x=x0,使

h(xo)=o,即：

f(xo)=e^xo=g(xo)=axo^2 即：

e^x=ax^2在(-∞,0）上有一实根.

因e^x=ax^2,将方程右边改写左边的形式,当x＞0时,有

x=lna+2lnx (指数相等）

令u(x)=x-lna-2lnx 有

u'(x)=1-2/x

令u'(x1)=o 可得x1=2 并有

x＜x1时,u'(x)＜0; x＞x1时,u'(x)＞0.由此可知x=x1为极小值.

因此,为使方程有根,必须h(x1)≤0,即：

a≥e^2/4 且

u(+∞)＞0

用洛必塔法则易证出x大于lnx,所以

u(+∞)＞0成立.

综上所述：

0＜a＜e^2/4时,方程只有1实根；

a=e^2/4时,有2实根；

a＞e^2/4时,有3实根.

相关问题