相似三角形,高分,速度.如图,在△ABC中,AM是BC边上的中线,AE平分∠BAC,BD⊥AE的延长线于D,且交AM延长
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证明：
过B引BG‖AC交AE的延长线于G,交AM的延长线于H．因为AE是∠BAC的平分线,所以
∠BAE=∠CAE．
BG‖AC,所以
∠CAE=∠G,∠BAE=∠G,
所以 BA=BG．
又BD⊥AG,所以△ABG是等腰三角形,所以∠ABF=∠HBF,
从而AB∶BH=AF∶FH．
又M是BC边的中点,且BH‖AC,易知ABHC是平行四边形,从而BH=AC,
所以 AB∶AC=AF∶FH．
因为AE是△ABC中∠BAC的平分线,所以
AB∶AC=BE∶EC,
所以 AF∶FH=BE∶EC,
即
(AM+MF)∶(AM-MF)=(BM+ME)∶(BM-ME)(这是因为ABHC是平行四边形,所以AM=MH及BM=MC．)．
上式变为AM∶MB=FM∶ME．
在△MEF与△MAB中,∠EMF=∠AMB,所以△MEF∽△MAB
(两个三角形两条边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似．)．所以∠ABM=∠FEM,
所以 EF‖AB．
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