已知集合M是满足下面性质的函数f（x）的全体：在定义域内，方程f（x+1）=f（x）+f（1）有实数解．
1个回答
解题思路：（1）在定义域内，由f(x)＝1x，f（x+1）=f（x）+f（1），知1x+1＝1x+1⇒x2+x+1＝0，由此能推导出f(x)＝1x∉M．（2）由函数f(x)＝lgtx2+1∈M，知lgt(x+1)2+1=lgtx2+1+lgt2，所以（t-2）x2+2tx+2（t-1）=0有实数解，由此能求出t的范围．
（1）在定义域内，
∵f(x)＝
1
x，f（x+1）=f（x）+f（1）
∴[1/x+1＝
1
x+1⇒x2+x+1＝0，
∵方程x2+x+1=0无实数解，
∴f(x)＝
1
x]∉M．（6分）
（2）∵函数f(x)＝lg
t
x2+1∈M，
∴lg[t
(x+1)2+1=lg
t
x2+1+lg
t/2]，
∴（t-2）x2+2tx+2（t-1）=0有实数解，
t=2时，x＝−
1
2；
t≠2时，由△=4t2-4（t-2）×2（t-1）≥0，
得t2−6t+4≤0⇒t∈[3−
5，2)∪(2，3+
5]．
∴t∈[3−
5，3+
5]．（12分）
点评：
本题考点： 对数的运算性质；元素与集合关系的判断．
考点点评： 本题考查函数的性质和应用，是中档题．解题时要认真审题，仔细解答，注意对数的性质的灵活运用．
相关问题
