用反证法,该法由毕达哥拉斯提出,这里只证明①√2是无理数,其它可类似地证明.
证：假定√2是有理数,由有理数性质必有√2 = p/q,在这里p和q是没有公约数的正整数（没有除1以外的其它正整数公因子）,于是 p = √2q ,或p² = 2q².
由p²是整数2q²的2倍,可知p² 是偶数,从而p必是偶数.
令p=2r,于是前面的等式变为4r²=2q²,即q²=2r²,可知q²是偶数,从而q必定是偶数.
由于p、q都是偶数,它们有一个公约数2,这与最初的假设p、q是没有公约数的正整数矛盾.
从而假设错误,√2是无理数.
该证明是数学史上最早的一个技巧高超的证明,用的是反证法.相传,毕达哥拉斯对这个证明结果非常珍惜,不打算公开公布这个结果.他的一个学生为了好奇,悄悄走到老师家里偷出了文件,这个证明方法才被公开出来,从而引起了第一次世界数学危机!
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