设f(x)=3ax2+2bx+c.若a+b+c=0,f(0)>0,f(1)>0,求证:
(Ⅰ)a>0且
−2<
b
a
<−1
;
(Ⅱ)方程f(x)=0在(0,1)内有两个实根.
解题思路:(I)先将f(0)>0,f(1)>0,利用函数式中的a,b,c进行表示,再结合等式关系利用不等式的基本性质即可得到a和[a/b]的范围即可.
(II)欲证明方程f(x)=0在(0,1)内有两个实根,根据根的存在性定理,只须证明某一个函数值小于0即可,最后只须证明在二次函数顶点处的函数值小于0即可.
证明:(I)因为f(0)>0,f(1)>0,
所以c>0,3a+2b+c>0.
由条件a+b+c=0,消去b,得a>c>0;
由条件a+b+c=0,消去c,得a+b<0,2a+b>0.
故−2<
b
a<−1.
(II)抛物线f(x)=3ax2+2bx+c的顶点坐标为(−
b
3a,
3ac−b2
3a),
在−2<
b
a<−1的两边乘以−
1
3,得[1/3<−
b
3a<
2
3].
又因为f(0)>0,f(1)>0,
而f(−
b
3a)=−
a2+c2−ac
3a<0,
所以方程f(x)=0在区间(0,−
b
3a)与(−
b
3a,1)内分别有一实根.
故方程f(x)=0在(0,1)内有两个实根.
点评:
本题考点: 二次函数的性质;不等式的基本性质.
考点点评: 本题主要考查二次函数的基本性质与不等式的应用等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想.属于基础题.
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