解题思路：（Ⅰ）利用a1+a2+a3+…+an=n-an，再写一式，两式相减，整理可得数列{an-1是以-[1/2]为首项，以[1/2]为公比的等比数列；（Ⅱ）先确定bn=（2-n）（an-1）=[n−2
2
n
，再利用bn+1-bn，确定bn有最大值b3=b4=
1/8]，从而对任意n∈N*，都有bn+[1/4]t≤t2，等价于对任意n∈N*，都有[1/8]≤t2-[1/4]t成立，由此可求实数t的取值范围．
（Ⅰ）证明：由题可知：a1+a2+a3+…+an=n-an，①
a1+a2+a3+…+an+1=n+1-an+1，②
②-①可得2an+1-an=1…..（3分）
即：an+1-1=[1/2]（an-1），又a1-1=-[1/2]…..（5分）
所以数列{an-1是以-[1/2]为首项，以[1/2]为公比的等比数列…．…..（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得an=1-(
1
2)n，…（7分）
∴bn=（2-n）（an-1）=[n−2
2n…（8分）
由bn+1-bn=
n+1−2
2n+1-
n−2
2n=
3−n
2n+1＞0可得n＜3
由bn+1-bn＜0可得n＞3 …（9分）
所以b1＜b2＜b3=b4，b4＞b5＞…＞bn＞…
故bn有最大值b3=b4=
1/8]
所以，对任意n∈N*，都有bn+[1/4]t≤t2，等价于对任意n∈N*，都有[1/8]≤t2-[1/4]t成立…（13分）
所以t2-[1/4]t-[1/8]≥0
解得t≥[1/2]或t≤-[1/4]
所以，实数t的取值范围是（-∞，−
1
4]∪[[1/2]，+∞）…（14分）
点评：
本题考点： 数列与不等式的综合；等比关系的确定．
考点点评： 本题考查数列递推式，考查等比数列的证明，考查恒成立问题，确定数列的通项，求出数列的最大值是解题的关键．
1年前
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