一道简单的证明题证明：若自然数a有因子p1,p2…pn（包括1 和他自身）,而这些因子自身的因子个数分别为r1,r2,…
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证：设a=P1^α1·P2^α2···Pk^αk (质因数分解,P1,P2,···,Pk为素数,α1,α2,···αk为非负整数),
对于a的因子pi=P1^αi1·P2^αi2···Pk^αik (0≤αij≤αj,αij为整数,j=1,2,···,k),
其因子个数ri=(αi1+1)(αi2+1)···(αik+1),
∴∑(i=1→n)ri=∑(i=1→n)(αi1+1)(αi2+1)···(αik+1)
=(∑(i=1→α1+1)i)(∑(i=1→α2+1)i)···(∑(i=1→αk+1)i) (因式分解可证)
=∏(j=1→k)((1+αj)(2+αj)/2),
∴(r1+r2+···+rn)²=∏(j=1→k)((1+αj)(2+αj)/2)²,
又有∑(i=1→n)ri³=∑(i=1→n)(αi1+1)³(αi2+1)³···(αik+1)³
=(∑(i=1→α1+1)i³)(∑(i=1→α2+1)i³)···(∑(i=1→αk+1)i³)
=∏(j=1→k)((1+αj)(2+αj)/2)²,
∴r1³+r2³+···+rn³=(r1+r2+···+rn)².
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