过抛物线y^2=2px(p>0)的焦点F作倾斜角为3π/4的直线,交抛物线于A、B两点,求证|AB|=4p
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设A(x1,y1),B（x2,y2）.过A、B分别作准线的垂线,交准线于点C,D.

∵过F（p/2,0）的的直线的斜率为-1,

∴该直线方程：y=-x+p/2,代入y^2=2px,

整理得：x^2-3px+(p^2/4)=0,

由韦达定理x1+x2=3p.

∵|AF|=x1+p/2,|FB|=x2+p/2（抛物线定义）

∴|AB|=|AF|+|FB|=（x1+p/2）+（x2+p/2）

=x1+x2+p=3p+p=4p.证毕

说明：

1、也可以用一般的弦长公式√(1+k^2)|x1-x2|来求.本题考虑到是“交点弦”,故采用了|AB|=|AF|+|FB|的转化,简化了计算过程.

2、记住几个弦长公式如楼上 ygq23266836介绍的,对做选择、填空题很有帮助.

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