已知f(x)是定义在R上的函数,∀x∈R都有f(x+6)=f(x)+2f(3),若函数f(x+1)的图象关于直线x+1=0对称,且f(-2)=2012,则f(2012)=( )
A.0
B.2012
C.-2012
D.2013
解题思路:由函数f(x+1)的图象关于直线x+1=0对称,结合函数的图象的平移可知函数y=f(x)关于x=0对称,即函数为偶函数,对已知条件赋值可求f(3)=f(-3)=0,可得函数是以6为周期的周期函数,可求
∵函数f(x+1)的图象关于直线x+1=0对称
∴函数y=f(x)的图象关于直线x=0对称,即函数y=f(x)为偶函数
∵∀x∈R都有f(x+6)=f(x)+2f(3)
令x=-3可得f(3)=f(-3)+2f(3)
∴f(-3)=-f(3)=f(3)
∴f(3)=f(-3)=0
∴f(x+6)=f(x)即函数是以6为周期的周期函数
∴f(2012)=f(2)=f(-2)=2012
故选B
点评:
本题考点: 函数的值.
考点点评: 本题主要考查了利用赋值求解抽象函数的函数值,函数的图象的平移及偶函数的性质的应用,函数的周期的求解是求解本题的关键
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