如图，直线l：y=x+b与曲线C：x2=4y相切于点A．
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解题思路：（Ⅰ）法1：利用消元法转化为一元二次方程进行求解；法2：利用导数的几何意义进行求解．
（Ⅱ）根据积分的几何意义即可求由曲线C与直线l及x=0围成的图形的面积．
（Ⅰ）解法1．由
x2＝4y
y＝x+b得x2-4x-4b=0，ks5u
因为直线l：y=x+b与抛物线C：x2=4y相切，所以△=（-4）2-4×（-4b）=0，
解得b=-1．
解法2．设切点A（x0，y0），由y＝
1
4x2得y′＝
1
2x，
所以切线l在点A处的斜率为k＝
1
2x0，
因为切线l的斜率为1，则k＝
1
2x0＝1，x0=2，
又A在抛物线上，所以y0＝
1
4
x20＝
1
4×22＝1，
于是A的坐标为A（2，1），因为A在直线ls上，所以1=2+b，b=-1．
（II）S＝
∫20[
x2
4−(x−1)]dx＝(
x3
12−
x2
2+x)
|20＝
2
3．
点评：
本题考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；定积分在求面积中的应用．
考点点评： 本题主要考查导数的应用，利用导数的几何意义以及积分飞几何意义是解决本题的关键．
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