（理科）已知如图，四边形ABCD是矩形，PA⊥面ABCD，其中AB=3，PA=4．若在PD上存在一点E，使得BE⊥CE．
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解题思路：（Ⅰ）过点E作AD的垂线，垂足为F，连结BF，过点F作AB的平行线，交BC于G，连结EG，令EF=x，AD=a，利用勾股定理、根的判别式等知识点能线段AD长度的取值范围．（Ⅱ）当a＝43时，方程4x2-12x+9=0有且仅有一个实根，由此能推导出存在唯一的点E．并能求出二面角E-BC-A的正切值．
（理科）（Ⅰ）如图，过点E作AD的垂线，垂足为F，连结BF，
过点F作AB的平行线，交BC于G，连结EG，
令EF=x，AD=a，
∵PA⊥面ABCD，∴EF∥PA，
∴DF＝
EF
PA•AD＝
ax
4，AF＝(1−
x
4)a，
∴BE2=BF2+EF2=AB2+AF2+EF2=9+(1−
x
4)2a2+x2．
∵BE⊥CE，∴BC2=BE2+CE2．
∵BC=a，CE2=EF2+FC2=EF2+FD2+CD2=x2+
1
16a2x2+9，
∴a2＝18+(1+
x2
8−
x
2)a2+2x2，
(
a2
8+2)x2−
a2
2x+18＝0①．
由△≥0，得a4-36a2-576≥0，解得a≥4
3．
∴线段AD长度的取值范围是[4
3，+∞）．…（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a＝4
3时，
方程①即4x2-12x+9=0，△=0．
方程①有且仅有一个实根，
∴存在唯一的点E．
∵EF⊥面ABCD，BC⊥FG，BC⊥EG，
∴∠EGF是二面角E-BC-F的平面角，
tan∠EGF＝
EF
GF＝
3
2
3＝
1
2．
∴二面角E-BC-A的正切值为[1/2]．…（10分）
点评：
本题考点： 与二面角有关的立体几何综合题．
考点点评： 本题考查线段长度取值范围的求法，考查二面角的正切值的求法，解题时要认真审题，注意合理地化空间问题为平面问题．
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