如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线交BC于D，交AB于点E，F在DE上，并且AF=CE．

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线交BC于D，交AB于点E，F在DE上，并且AF=CE．

（1）求证：四边形ACEF是平行四边形；

（2）当∠B的大小满足什么条件时，四边形ACEF是菱形？请证明你的结论；

（3）四边形ACEF有可能是矩形吗？为什么？

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解题思路：（1）ED是BC的垂直平分线，根据中垂线的性质：中垂线上的点线段两个端点的距离相等，得；EB=EC．由等边对等角得∠3=∠4，在直角三角形ACB中，∠2与∠4互余，∠1与∠3互余．∴∠1=∠2．∴AE=CE．又∵AF=CE，∴△ACE和△EFA都是等腰三角形．∵FD⊥BC，AC⊥BC，∴AC∥FE．∴∠1=∠5．∴∠AEC=∠EAF，∴AF∥CE．∴四边形ACEF是平行四边形．

（2）由于△ACE是等腰三角形，当∠1=60°时△ACE是等边三角形，有AC=EC，有平行四边形ACEF是菱形．

（3）当四边形ACEF是矩形时，有∠2=90°，而∠2与∠3互余．∠3≠0°，∴∠2≠90°．∴四边形ACEF不可能是矩形．

（1）证明：∵ED是BC的垂直平分线，

∴EB=EC．

∴∠3=∠4．

∵∠ACB=90°，

∴∠2与∠4互余，∠1与∠3互余，

∴∠1=∠2．

∴AE=CE．

又∵AF=CE，

∴△ACE和△EFA都是等腰三角形．

∴AF=AE，

∴∠F=∠5，

∵FD⊥BC，AC⊥BC，

∴AC∥FE．

∴∠1=∠5．

∴∠1=∠2=∠F=∠5，

∴∠AEC=∠EAF．

∴AF∥CE．

∴四边形ACEF是平行四边形．

（2）当∠B=30°时，四边形ACEF是菱形．证明如下：

∵∠B=30°，∠ACB=90°，

∴∠1=∠2=60°．

∴△EAC为等边三角形，

∴AC=EC．

∴平行四边形ACEF是菱形．

（3）四边形ACEF不可能是矩形．理由如下：

由（1）可知，∠2与∠3互余，

∠3≠0°，∴∠2≠90°．

∴四边形ACEF不可能是矩形．

点评：

本题考点： 线段垂直平分线的性质；平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定．

考点点评： 本题利用了：（1）中垂线的性质，（2）等边对等角和等角对等边，（3）直角三角形的性质，（4）平行四边形和判定和性质，（5）一组邻边相等的平行四边形是菱形，（6）矩形的性质．

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