设F1,F2,分别是椭圆C:(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1(a>b>0)的左,右焦点,过F1且斜率为1的直线
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1.设A(x1,y1),B(x2,y2),左焦点(-c,0),直线l:y=x+c

由题意得|AF2|+|BF2|=2|AB|

∵ |AF1|+|AF2|=2a. .①

|BF1|+|BF2|=2a.②

①+②得(|AF1|+|BF1|)+(|AF2|+|BF2|)=4a

即|AB|+2|AB|=4a,|AB|=4a/3……③

直线y=x+c代入椭圆方程x²/a² + y²/b² =1,得(a²+b²)x²+2a²cx+a²c²-a²b²=0

x1+x2=-2a²c/(a²+b²),x1*x2=(a²c²-a²b²)/(a²+b²)

|AB|=√(1+k²)|x1-x2|=√2*√[(x1+x2)²-4x1x2]

把c²=a²-b²代入,得|AB|=4ab²/(a²+b²)……④

由③④得a²=2b²,a=√2b

(2)设点P(0,1)满足|PA|=|PB|,则|PA|²=|PB|²

所以(x1+1)²+y1²=(x2+1)²+y2²

(x1+1)²-(x2+1)²+y1²-y2²=0

(x1-x2)(x1+x2+2) + (y1-y2)(y1+y2)=0

(x1-x2)(x1+x2+2) + [(x1+c)-(x2+c)][(x1+c)+(x2+c)]=0

(x1-x2)(x1+x2+2) + (x1-x2)(x1+x2+2c)=0

2(x1-x2)[(x1+x2)+1+c]=0

∵x1≠x2,∴x1-x2≠0,∴(x1+x2)+1+c=0

即-2a²c/(a²+b²)+1+c=0

∵a²=2b²,c²=a²-b²,得到b=c

代入上式整理得b=3,a=18

椭圆C方程x²/18+y²/9=1

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