已知函数f(x)=根号2sin(π/2-x)sin(x+4/π)-1/2 1 求函数f(x)图像上最高点的对称轴方程

已知函数f(x)=根号2sin(π/2-x)sin(x+4/π)-1/2 1 求函数f(x)图像上最高点的对称轴方程

已知函数f(x)=根号2sin(π/2-x)sin(x+4/π)-1/2

1)求函数f(x)图像上最高点的对称轴方程

2)当x∈[-π/4,0]时,判断在函数f(π/4+x)的切线中是否存在相互垂直的两条切线?若纯在,请求出这对切线的坐标；若不纯在,请说明理由

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f(x)=根号2sin(π/2-x)sin(x+4/π)-1/2

=√2cosx(√2/2×sinx+√2/2×cosx)-1/2

=sinxcosx+cos²x-1/2

=1/2sin2x+1/2 (1+cos2x)-1/2

=1/2sin2x+1/2cosx

=√2/2sin(2x+π/4)

2x+π/4=2kπ+π/2,k∈Z得

x=kπ+π/8,k∈Z

∴图像最高点为(kπ+π/8,√2/2) k∈Z

对称轴方程为 x=kπ+π/8,k∈Z

2

y= f(π/4+x)=√2/2sin[2(x+π/4)+π/4)=√2/2cos(2x+π/4) ,x∈[-π/4,0]

y'= -√2/2 sin(2x+π/4) ×2=-√2sin(2x+π/4)

∵x∈[-π/4,0] ∴ 2x+π/4∈[-π/4,π/4]

∴ sin(2x+π/4)∈[-√2/2,√2/2]

∴ y'∈[-1,1]

当y'≠0时,|1/y'|≥1

若切线中是否存在相互垂直的两条切线,

则切线斜率相乘等于-1,只有当

y'=1 和y'=-1时才成立

∴由y'=1得,x=-π/4 ,y'=-1得,x=0

∴ 切点为（0,1） 和 （ π/4,-1)

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