选修4-1：几何证明选讲如图，BA是⊙O的直径，AD是切线，BF、BD是割线，求证：BE•BF=BC•BD．
1个回答
解题思路：证法一做出辅助线，根据两条线平行，同位角相等，得到两个角相等，在根据同弧所对的圆周角等于弦切角，得到两个三角形相似，得到对应边成比例．
证法二，做出辅助线，根据直径所对的圆周角是一个直角，根据射影定理得到AB2=BC•BD，AB2=BE•BF，根据等量代换得到结论．
证明：
证法一：连接CE，过B作⊙O的切线BG，则BG∥AD
∴∠GBC=∠FDB，又∠GBC=∠CEB
∴∠CEB=∠FDB
又∠CBE是△BCE和△BDF的公共角
∴△BCE∽△BDF∴[BC/BF＝
BE
BD]，
即BE•BF=BC•BD
证法二：连续AC、AE，∵AB是直径，AC是切线
∴AB⊥AD，AC⊥BD，AE⊥BF
由射线定理有AB2=BC•BD，AB2=BE•BF
∴BE•BF=BC•BD
点评：
本题考点： 直角三角形的射影定理；相似三角形的性质．
考点点评： 本题考查平面几何的有关证明，是一个基础题，这种题目解题的关键是看清要证明的四条线段之间的位置关系，得到结论．
相关问题
