已知函数f(x)＝ex+1x−a．
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解题思路：（1）先求出函数在x=1处的导数，得到切线的斜率，然后根据切点和斜率可求出切线方程；
（2）先求定义域，然后讨论x的范围，可直接判定f（x）在区间（a，+∞）上的实数根的个数，在（-∞，a）上可利用导数研究函数的单调性和最值，可判定实数根的个数．
（1）f(x)＝ex+
1
x−a，f′(x)＝ex−
1
(x−a)2，f′(0)＝1−
1
a2．
当a＝
1
2时，f'（0）=-3．又f（0）=-1．…．．（2分）
所以f（x）在x=0处的切线方程为y=-3x-1．…．．（4分）
（2）函数f（x）的定义域为（-∞，a）∪（a，+∞）．
当x∈（a，+∞）时，ex＞0，
1
x−a＞0，所以f(x)＝ex+
1
x−a＞0．
即f（x）在区间（a，+∞）上没有实数根．…．．（6分）
当x∈（-∞，a）时，f(x)＝ex+
1
x−a＝
ex(x−a)+1
x−a，
令g（x）=ex（x-a）+1．…（8分）
只要讨论g（x）=0根的个数即可．g'（x）=ex（x-a+1），g'（a-1）=0．
当x∈（-∞，a-1）时，g'（x）＜0，g（x）是减函数；
当x∈（a-1，a）时，g'（x）＞0，g（x）是增函数．
所以g（x）在区间（-∞，a）上的最小值为g（a-1）=1-ea-1．…．．（10分）
∵a＞1时，g（a-1）=1-ea-1＜0，即f（x）有两个实根． …．．（12分）
点评：
本题考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；根的存在性及根的个数判断．
考点点评： 本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及根的个数判断，同时考查了转化的思想，属于中档题．
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