设P是抛物线y2=4x上的一个动点.
(1)求点P到点A(-1,1)的距离与点P到直线x=-1的距离之和的最小值;
(2)若B(3,2),求|PB|+|PF|的最小值.
解题思路:(1)所求距离等于P到点A(-1,1)的距离与点P到焦点F的距离之和,当P、A、F三点共线时,距离之和最小,由两点间的距离公式可得;
(2)所求距离等于|PB|+P到准线x=-1的距离,当P、B、F三点共线时,距离之和最小,由点到直线的距离公式可得.
(1)可得抛物线y2=4x的焦点F(1,0),准线方程为x=-1,
∴点P到点A(-1,1)的距离与点P到直线x=-1的距离之和
等于P到点A(-1,1)的距离与点P到焦点F的距离之和,
当P、A、F三点共线时,距离之和最小,且为|AF|,
由两点间的距离公式可得|AF|=
(−1−1)2+(1−0)2=
5;
(2)由抛物线的定义可知|PF|等于P到准线x=-1的距离,
故|PB|+|PF|等于|PB|+P到准线x=-1的距离,
可知当P、B、F三点共线时,距离之和最小,
最小距离为3-(-1)=4
点评:
本题考点: 两点间的距离公式;点到直线的距离公式.
考点点评: 本题考查抛物线的定义,涉及点到点、点到线的距离,利用好抛物线的定义是解决问题的关键,属中档题.
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