首先须了解加法和各位数字和的关系.
假设A + B = C,
A的各位数字和为a,B的各位数字和为b,C的各位数字和为c,那么各位数字和有如下关系：
a + b - 9*K = c 【其中K是A + B时发生的进位次数.】
例如：
43+24 = 67,相加不发生进位,那么各位和的加法：(4+3) + (2+4) = 13 = 6+7
43+28 = 71,相加发生1次进位,那么各位和的加法：4+3+2+8-1*9 = 8 = 7+1
你题目意思不清楚.
①如果是说求两个连续自然数,每个数的各位数字和都能被2010整除,如下思考：
对两个连续自然N,N+1
如N的各位数字和为2010的倍数= 2010M,
则N+1的各位数字和 = 2010M + 1 - 9*K = 2010(M - 1) + (2011 - 9K)
显然,要使 N+1的各位数字和 为2010的倍数,则2011 - 9K 必须为2010的倍数：
2011 - 9K = 0或2010,K无整数解.
因此不存在两个连续自然数,他们的各位数字和是2010的倍数.
同理,对2011
N的各位数字和为2011的倍数= 2011M
则N+1的各位数字和 = 2011M + 1 - 9*K = 2011(M - 1) + (2012 - 9K)
2012 - 9K = 0或2011,K亦无整数解.同样不存在.
②如果是求两个连续自然数,两个数所有组成数字的和是2010、2011的倍数,如下思考：
N的各位和 = M,N + 1的各位和 = M + 1 - 9K,两数的数字之和
= M + M + 1 - 9K
= (2M + 1) - 9K = 2010
显然最小有K = 1,M = 1009.
因此存在这样的N例如：
7999...99939 【1个7,110个9,1个3,1个9,各位数字和1009】注：这个N不是此时的最小值,仅以此举例.
则N+1的形式为：
7999...99940 【1个7,110个9,1个4,1个0,各位数字和1001】符合两个数各数之和是2010的倍数.
同法,对两个数的所有数字之和为2011的倍数的,
M + (M + 1 - 9K) = (2M + 1) - 9K = 2011
存在解K = 0,M = 1005
N的最小形式就是
1999...9995 【1个1,111个9,1个5,各位数字和1005】
N+1的形式就是
1999...9996 【1个1,111个9,1个6,各位数字和1006】符合符合两个数各数之和是2011的倍数.
